本文主要介绍实分析中关于可测函数积分的三大定理。参考自 Folland 的 <Real Analysis – Modern Techniques and Their Applications>。
考虑测度空间 $(X, \mathcal{M}, \mu)$，用 $\mathcal{L}^+$ 表示所有从 $X$ 到 $[0, \infty]$ 的可测函数。
对测度空间上的函数 $f \in \mathcal{L}^+$，定义它的积分为
$\int f d \mu = \left\{\int \phi d \mu: 0 \le \phi \le f, \phi \text{是简单函数}\right\}$ 。
对测度空间上的函数 $f:X\to [-\infty, +\infty]$，考虑将其拆成正值和负值两部分 $f^+, f^-$ （即 $f = f^+ + (-f^-)$ 而 $f^+, f^- \ge 0$ ），若 $\int f^+, \int f^-$ 其一为有限值，则定义 $\int f = \int f^+ – \int f^-$。若两者均为有限值，则我们说 $f$ 可积。一个显而易见的结论是 $f$ 可积当且仅当 $|f|$ 可积。
类似地，对于复值函数我们也可以将其拆为实部和虚部。我们用 $L^1$ 来表示所有可积复值函数的空间。
Monetone Convergence Theorem
Theorem 1 (Monetone Convergence Theorem). 若测度空间 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ 上的函数序列 $\{f_n\} \subset \mathcal{L}^+$，有 $f_j \le f_{j+1} (\forall j)$，并且 $f = \lim_{n\to\infty} f_n (= \sup_n f_n)$，那么有 $\int f = \lim_{n\to \infty} \int f_n$。
由测度的完备化可知，定理中的收敛条件改为依测度收敛也是可以的。在证明之前我们有两个比较显然的引理：
Proposition 2. 若 $\phi \in \mathcal{L}^+$ 是简单函数 (simple function)，那么 $\nu(E) := \int_{E} \phi d \mu$ 定义了一个测度。
Proposition 3 (Continuity from below). 若 $\{E_n\} \subset \mathcal{M}$ 满足 $E_1 \subset E_2 \subset E_3 \subset \cdots$，那么我们有 $\mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n) = \lim_{n\to \infty} \mu(E_n)$。
Proof of Theorem 1.
$\lim \int f_n \le \int f$: 单调性可得。
$\lim \int f_n \ge \int f$: 从 $\mathcal{L}^+$上积分的定义入手，证明对所有满足 $0\le \phi \le f$ 的简单函数 $\phi$ 都有 $\lim \int f_n \ge \int\phi$ 即可。具体地：
取固定的 $\alpha \in (0,1)$，让 $E_n = \{x \in X: f_n(x) \ge \alpha \phi(x)\}$ ，由函数收敛的定义我们知道 $\bigcup E_n = X$ 。由单调性我们有 $\int f_n \ge \int_{E_n} f_n\ge \alpha\int_{E_n} \phi$ ，两边取极限，由 Proposition 2 我们知道 $\int_{E_n} \phi$ 是关于 $E_n$ 的测度，而 Proposition 3 我们知道该测度最后会收敛到 $\int_X \phi$，于是我们得到了 $\lim \int f_n \ge \alpha\int \phi$ ，由 $\alpha \in (0, 1)$ 的任意性我们得到了 $\lim \int f_n \ge \int \phi$。对所有简单函数取上界即为所求。
Fatou’s Lemma
Theorem 4 (Fatou’s Lemma): 对 $\{f_n\} \subset \mathcal{L}^+$，则有
$\int (\liminf f_n) \le \liminf \int f_n$.
回忆一下，$\liminf\limits_{n\to \infty} x_n := \lim\limits_{n\to \infty} \inf\limits_{k\ge n} x_k$ ，并且 $\inf\limits_{k\ge n} x_k$ 是一个关于 $n$ 的递增序列。
Proof of Theorem 4.
考虑到左边的被积函数其实是一个递增函数序列的极限，自然想到极限和积分号可以互换（由 Monotone Convergence Theorem），而 $\inf_{k\ge n} f_k \le f_j (\forall j \ge n)$ 由积分的单调性可得 $\int\inf_{k\ge n} f_k \le \int f_j (\forall j \ge n)$ 而得到 $\int\inf_{k\ge n} f_k \le \inf_{k\ge n}\int f_k$ 。具体地：
$\int \liminf\limits_{n\to \infty} f_n := \int \lim\limits_{n\to \infty} \inf\limits_{k\ge n} f_k = \lim\limits_{n\to \infty} \int \inf\limits_{k\ge n} f_k \le \lim\limits_{n\to \infty} \inf\limits_{k\ge n} \int f_k =: \liminf\limits_{n\to \infty} \int f_n$
不能取等号的两个例子：
$f_n = n\chi_{(0, \frac{1}{n})}$ ，有 $f_n \to f = 0$ ，但是 $\int f_n = 1$ 。
$f_n = \chi_{(n, n+1)}$ ，有 $f_n \to f = 0$ ，但是 $\int f_n = 1$ 。
Dominated Convergence Theorem
Theorem 5 (Dominated Convergence Theorem). 对函数序列 $\{f_n\} \subset L^1$ ，若我们有 $f = \lim_{n\to\infty} f_n$ ，并且存在 $g \in L^1$ 对所有的 $n$ 都有 $|f_n| \le g$，那么有 $f\in L^1$ 并且 $\int f = \lim_{n\to \infty} \int f_n$ 。
注意到假若处处收敛改为依测度收敛，定理依然成立。
Proof of Theorem 5.
$f\in L^1$: 注意到可测函数序列的极限也是可测的，那么讨论 $\int f$ 是有意义的，而由 $|f| \le g$ 和 $|f|$ 可积可以得到 $f$ 可积。
$\int f = \lim_{n\to \infty} \int f_n$: 对复值函数我们可以拆分为实部与虚部讨论，故我们假设 $f_n$ 为实值函数。由 $|f_n| \le g$ 可得到 $g – f_n \ge 0$ 和 $g + f_n \ge 0$，由 Fatou’s Lemma，我们有
$\int g + \int f \le \liminf \int (g + f_n) = \int g + \liminf \int f_n$
$\int g – \int f \le \liminf \int (g – f_n) = \int g – \limsup \int f_n$
那么有 $\limsup \int f_n \le \int f \le \liminf \int f_n$ 即证。
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