本文主要讨论 积分与极限 / 积分与求导 交换顺序。参考自 Folland 的 <Real Analysis – Modern Techniques and Their Applications>。
本文默认测度空间为 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ 。我们讨论函数 $f:X\times [a,b] \to \mathbb{C} (-\infty < a < b < \infty)$ ，并且该函数满足，对任意 $t \in [a,b]$ ，有 $f(\cdot, t): X \to \mathbb{C}$ 是可积的。
定义 $F(t) = \int_{X} f(x,t) d\mu(x)$ 。
积分与极限交换顺序
Theorem 1. 假设存在一个函数 $g \in L^1(\mu)$ 使得 $|f(x,t)| \le g(x)$ 对所有的 $x,t$ 成立。若 $\lim\limits_{t\to t_0} f(x,t) = f(x,t_0)$ 对任意 $x$ 成立，那么有 $\lim\limits_{t\to t_0} F(t) = F(t_0)$ 。
注意到结论可以视为 $\lim\limits_{t\to t_0} \int_{X} f(x,t) d\mu(x) = \int_{X} \lim\limits_{t\to t_0} f(x,t) d\mu(x)$ 的形式。
Proof of Theorem 1.
考虑任意趋于 $t_0$ 的序列，Dominated Convergence Theorem 即证。具体地：
考虑序列 $\{t^{(n)}\} \subset [a,b]$ 并且 $t^{(n)} \to t_0$ ，考虑函数序列 $f(\cdot, t^{(n)})$ ，由 Dominated Convergence Theorem ，我们有 $\lim\limits_{n\to \infty} \int_X f_n(x, t^{(n)}) d\mu(x) = \int_X \lim\limits_{n\to \infty} f_n(x, t^{(n)}) d\mu(x) = \int_X f(x, t_0) d\mu(x)$ ，注意到第一个式子是数列的极限，考虑 $\{t^{(n)}\}$ 的任意性即得证。
Corollary 2. 若 Theorem 1 中的 $f(x, \cdot)$ 对任意 $x$ 都是连续的，那么 $F$ 也是连续的。
该条件即保证 $\lim\limits_{t\to t_0} f(x,t) = f(x,t_0)$ 对任意 $t_0 \in [a,b]$ 成立，故结论较为显然，不再证明。
积分与求导交换顺序
Theorem 3. 假设 $\frac{\partial f}{\partial t}$ 存在，并且存在 $g\in L^1(\mu)$ 使得 $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\right|\le g(x)$ 对任意 $x,t$ 成立，那么有 (1) $F$ 是可导的；(2) $F'(t) = \int_X \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) d\mu(x)$ 。
注意到结论可以视为 $\frac{d}{d t} \int_{X} f(x,t) d\mu(x)= \int_X \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) d\mu(x)$ 的形式。首先考虑到求导本身是一个极限过程，那么可以直接用 Theorem 1 的结论。
Proof of Theorem 3.
固定点 $t_0$ ，考虑序列 $\{t^{(n)}\} \subset [a,b]$ 并且 $t^{(n)} \to t_0$，并且定义 $h_n(x) = \frac{f(x, t^{(n)}) – f(x, t_0)}{t^{(n)} – t_0}$ ，根据中值定理，我们有 $\exists t’ \in [a,b]: f(x, t^{(n)}) – f(x, t_0) = \frac{\partial f}{\partial t}(x, t’)\cdot(t^{(n)} – t_0)$ ，即 $\left|h_n(x)\right| = \left|\frac{\partial f}{\partial t}(x, t’)\right| \le g(x)$，此后证明同 Theorem 1 。
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